कैलकुलस उदाहरण

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k + 1}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(k + 1)}^{k + 1}$ और $k + 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

${(k + 1)}^{k + 1}$ में से $k + 1$ का गुणनखंड करें.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$(k + 1) i$ में से $k + 1$ का गुणनखंड करें.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) (i)} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 1.2

जैसे ही $k$ $8$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 1.3

$\frac{1}{i}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $k$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} {(k + 1)}^{k} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 2

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${(k + 1)}^{k}$ को $e^{\ln ({(k + 1)}^{k})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{\ln ({(k + 1)}^{k})} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 2.2

$k$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(k + 1)}^{k})$ का प्रसार करें.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 3.2

जैसे ही $k$ $8$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 3.3

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 3.4

जैसे-जैसे $k$ $8$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + lim_{k \to 8} 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 3.5

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $k$ के $8$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

चरण 3.6

$i$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $k$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i lim_{k \to 8} \frac{k}{k^{k}}$

चरण 3.7

जैसे ही $k$ $8$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} k^{k}}$

चरण 4

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$k^{k}$ को $e^{\ln (k^{k})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{\ln (k^{k})}}$

चरण 4.2

$k$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (k^{k})$ का प्रसार करें.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{k \ln (k)}}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \ln (k)}}$

चरण 5.2

जैसे ही $k$ $8$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k)}}$

चरण 5.3

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

चरण 6

$k$ की सभी घटनाओं के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1