कैलकुलस उदाहरण

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

चरण 1

जैसे ही $n$ $8$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

चरण 2

जैसे-जैसे $n$ $8$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

चरण 3

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

चरण 4

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

चरण 5

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $n$ के $8$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

चरण 6

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

चरण 7

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

चरण 8

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

चरण 9

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

चरण 10

$2$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $n$ के $8$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

चरण 11

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

चरण 12

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

चरण 13

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $n$ के $8$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

चरण 14

$n$ की सभी घटनाओं के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$n$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $n$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

चरण 14.2

$n$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $n$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

चरण 14.3

$n$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $n$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

चरण 14.4

$n$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $n$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

चरण 15

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$8$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

चरण 15.1.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

चरण 15.1.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\frac{3 - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

चरण 15.1.4

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.4.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

चरण 15.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

चरण 15.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{3 - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

चरण 15.1.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

चरण 15.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$8$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{8 + 1}}$

चरण 15.2.2

$8$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{9}}$

चरण 15.2.3

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{3^{2}}}$

चरण 15.2.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 1 \cdot 3}$

चरण 15.2.5

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$

चरण 15.3

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ को $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ से गुणा करें.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$

चरण 15.4

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ को $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ से गुणा करें.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3) (\sqrt{10} + 3)}$

चरण 15.5

FOIL विधि का उपयोग करके भाजक का प्रसार करें.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{10} \cdot 3 - 3 \sqrt{10} - 9}$

चरण 15.6

सरल करें.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{1}$

चरण 15.7

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ को $1$ से विभाजित करें.

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$

चरण 15.8

FOIL विधि का उपयोग करके $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (\sqrt{10} + 3) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

चरण 15.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

चरण 15.8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

चरण 15.9

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.9.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

चरण 15.9.2

$- 2 \sqrt{2} \sqrt{10}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.9.2.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

चरण 15.9.2.2

$10$ को $2$ से गुणा करें.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

चरण 15.9.3

$20$ को $2^{2} \cdot 5$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.9.3.1

$20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

चरण 15.9.3.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

चरण 15.9.4

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

चरण 15.9.5

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

चरण 15.9.6

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

चरण 16

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

दशमलव रूप:

$1.05727969 \dots$