कैलकुलस उदाहरण

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

चरण 1.1.2

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

चरण 1.1.3

जैसे ही $n$ करणी के लिए $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ $n \cdot n^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

चरण 1.3.3

$\sqrt{n}$ को $n^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ $n \cdot n^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

चरण 1.3.5

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

चरण 1.3.6

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

चरण 1.3.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

चरण 1.3.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.8.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

चरण 1.3.8.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

चरण 1.3.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

चरण 1.3.10

सरल करें.

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चरण 1.3.10.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

चरण 1.3.10.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

चरण 1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.5

$n^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{n}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

चरण 1.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

चरण 2

चूँकि फलन $\sqrt{n}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए फलन का धनात्मक स्थिरांक $2$ गुना भी $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सतत एकाधिक $2$ हटाई गई लिमिट पर विचार करें.

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

चरण 2.2

जैसे ही $n$ करणी के लिए $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$\infty$