कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} {(1 - \cos (x))}^{x}$

चरण 1

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(1 - \cos (x))}^{x}$ को $e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$

चरण 1.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})$ का प्रसार करें.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (1 - \cos (x))}$

चरण 2

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to 0} x \ln (1 - \cos (x))}$

चरण 3

$x \ln (1 - \cos (x))$ को $\frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

चरण 4

सीमा को बाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

चरण 5

बाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{-}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

चरण 5.1.1.2

जैसे ही $x$ बाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, $\ln (1 - \cos (x))$ बिना किसी सीमा के घटता जाता है.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

चरण 5.1.1.3

चूँकि न्यूमेरेटर एक स्थिरांक है और जब $x$ बाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, तो भाजक $0$ की ओर एप्रोच करता है, भिन्न $\frac{1}{x}$ ऋणात्मक अनंत की ओर एप्रोच करता है.

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

चरण 5.1.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

चरण 5.1.2

चूंकि $\frac{- \infty}{- \infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 5.1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 1 - \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - \cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - \cos (x)$ से बदलें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ जोड़ें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.6

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.7

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.8

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.9

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.10

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.1.3.11

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

चरण 5.1.3.12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

चरण 5.1.3.13

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

चरण 5.1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

चरण 5.1.5

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

चरण 5.1.6

गुणनखंडों को $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

चरण 5.2

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

चरण 5.3

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.2.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.2.4

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.4.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.2.4.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.2.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.5.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.2.5.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.2.5.3

$0$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.3.1.1

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.3.1.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

चरण 5.3.1.3.1.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{-}} x)}}$

चरण 5.3.1.3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

चरण 5.3.1.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

चरण 5.3.1.3.3.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

चरण 5.3.1.3.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$e^{- \frac{0}{0}}$

चरण 5.3.1.3.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$e^{- \frac{0}{0}}$

चरण 5.3.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$e^{- \frac{0}{0}}$

चरण 5.3.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$e^{- \frac{0}{0}}$

चरण 5.3.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

चरण 5.3.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

चरण 5.3.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

चरण 5.3.3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

चरण 5.3.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

चरण 5.3.3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

चरण 5.3.3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ है.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

चरण 5.3.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

चरण 5.3.3.8

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.8.1

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

चरण 5.3.3.8.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

चरण 5.3.3.8.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

चरण 5.3.3.8.4

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

चरण 5.3.3.9

$0$ और $\sin (x)$ जोड़ें.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

चरण 5.4

$\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ और $lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ के बाद से, स्क्वीज प्रमेय लागू करें.

$e^{- 0}$

चरण 5.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{0}$

चरण 6

सीमा को दाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

चरण 7

दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

चरण 7.1.1.2

जैसे-जैसे $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, $\ln (1 - \cos (x))$ बिना किसी सीमा के कम हो जाता है.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

चरण 7.1.1.3

चूँकि न्यूमेरेटर एक स्थिरांक है और भाजक $0$ की ओर एप्रोच करता है, जब $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, तो भिन्न $\frac{1}{x}$ अनंत की ओर एप्रोच करता है.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

चरण 7.1.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

चरण 7.1.2

चूंकि $\frac{- \infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 7.1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - \cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - \cos (x)$ से बदलें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ जोड़ें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.6

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.7

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.8

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.9

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.10

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 7.1.3.11

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

चरण 7.1.3.12

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

चरण 7.1.3.13

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

चरण 7.1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

चरण 7.1.5

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

चरण 7.1.6

गुणनखंडों को $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

चरण 7.2

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

चरण 7.3

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.2.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.2.4

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.4.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.2.4.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.2.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.5.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.2.5.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.2.5.3

$0$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.3.1.1

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.3.1.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

चरण 7.3.1.3.1.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

चरण 7.3.1.3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

चरण 7.3.1.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

चरण 7.3.1.3.3.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

चरण 7.3.1.3.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$e^{- \frac{0}{0}}$

चरण 7.3.1.3.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$e^{- \frac{0}{0}}$

चरण 7.3.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$e^{- \frac{0}{0}}$

चरण 7.3.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$e^{- \frac{0}{0}}$

चरण 7.3.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

चरण 7.3.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

चरण 7.3.3.2

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

चरण 7.3.3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

चरण 7.3.3.4

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

चरण 7.3.3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

चरण 7.3.3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ है.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

चरण 7.3.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

चरण 7.3.3.8

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.8.1

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

चरण 7.3.3.8.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

चरण 7.3.3.8.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

चरण 7.3.3.8.4

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

चरण 7.3.3.9

$0$ और $\sin (x)$ जोड़ें.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

चरण 7.4

$\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ और $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ के बाद से, स्क्वीज प्रमेय लागू करें.

$e^{- 0}$

चरण 7.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{0}$

चरण 8

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1$