कैलकुलस उदाहरण

$lim_{y \to 0} \frac{\sin (3 y) \cot (5 y)}{y \cdot \cot (4 y)}$

चरण 1

जैसे ही $y$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{y \to 0} \sin (3 y) \cot (5 y)}{lim_{y \to 0} y \cdot \cot (4 y)}$

चरण 2

बाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{y \to 0^{-}} \sin (3 y) \cot (5 y)$

चरण 3

फलन $\sin (3 y) \cot (5 y)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $y$ बाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} y & \sin (3 y) \cot (5 y) \\ - 0.1 & 0.5409461 \\ - 0.01 & 0.59940999 \\ - 0.001 & 0.5999941 \\ - 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

चरण 4

$y$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0.6$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\sin (3 y) \cot (5 y)$ का लिमिट $y$ के रूप में $0$ के बाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0.6$ है.

$0.6$

चरण 5

दाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{y \to 0^{+}} \sin (3 y) \cot (5 y)$

चरण 6

फलन $\sin (3 y) \cot (5 y)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $y$ दाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} y & \sin (3 y) \cot (5 y) \\ 0.1 & 0.5409461 \\ 0.01 & 0.59940999 \\ 0.001 & 0.5999941 \\ 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

चरण 7

$y$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0.6$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\sin (3 y) \cot (5 y)$ का लिमिट $y$ के रूप में $0$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0.6$ है.

$\frac{0.6}{lim_{y \to 0} y \cdot \cot (4 y)}$

चरण 8

बाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{y \to 0^{-}} y \cdot \cot (4 y)$

चरण 9

फलन $y \cdot \cot (4 y)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $y$ बाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} y & y \cdot \cot (4 y) \\ - 0.1 & 0.23652224 \\ - 0.01 & 0.24986665 \\ - 0.001 & 0.24999866 \end{array}$

चरण 10

$y$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0.25$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $y \cdot \cot (4 y)$ का लिमिट $y$ के रूप में $0$ के बाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0.25$ है.

$0.25$

चरण 11

दाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{y \to 0^{+}} y \cdot \cot (4 y)$

चरण 12

फलन $y \cdot \cot (4 y)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $y$ दाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} y & y \cdot \cot (4 y) \\ 0.1 & 0.23652224 \\ 0.01 & 0.24986665 \\ 0.001 & 0.24999866 \end{array}$

चरण 13

$y$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0.25$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $y \cdot \cot (4 y)$ का लिमिट $y$ के रूप में $0$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0.25$ है.

$\frac{0.6}{0.25}$

चरण 14

$0.6$ को $0.25$ से विभाजित करें.

$2.4$