कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 1} (\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}) (1)$

चरण 1

$\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$

चरण 2

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 1} \log_{4} (x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

चरण 2.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{\log_{4} (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

चरण 2.1.2.2

$x$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\log_{4} (1)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

चरण 2.1.2.3

$1$ का लघुगणक बेस $4$ $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

चरण 2.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{0}{\log_{2} (lim_{x \to 1} x)}$

चरण 2.1.3.2

$x$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{\log_{2} (1)}$

चरण 2.1.3.3

$1$ का लघुगणक बेस $2$ $0$ है.

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 2.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\log_{4} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x \ln (4)}$ है.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 2.3.3

$x$ के संबंध में $\log_{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x \ln (2)}$ है.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

चरण 2.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (4)} (x \ln (2))$

चरण 2.5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x$ और $\frac{1}{x \ln (4)}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 1} \frac{x}{x \ln (4)} \ln (2)$

चरण 2.5.2

$\frac{x}{x \ln (4)}$ और $\ln (2)$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

चरण 2.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

चरण 2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $1$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

चरण 3.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\ln (4)$ को $\ln (2^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2^{2})}$

चरण 3.2.2

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (2^{2})$ का प्रसार करें.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

चरण 3.2.3

$\ln (2)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

चरण 3.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2}$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.5$