कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \cdot 4^{\cos (\frac{π}{x})}$

चरण 1

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 0^{+}} 4^{\cos (\frac{π}{x})}$

चरण 1.2

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x} \cdot lim_{x \to 0^{+}} 4^{\cos (\frac{π}{x})}$

चरण 1.3

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x} \cdot 4^{lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})}$

चरण 2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\sqrt{0} \cdot 4^{lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})}$

चरण 3

फलन $\cos (\frac{π}{x})$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 1 \\ 0.01 & 1 \\ 0.001 & - 0.66711772 \\ 0.0001 & - 0.10775036 \\ 0.00001 & 0.87550456 \\ 0.000001 & 0.98459857 \\ 0.0000001 & - 0.99950431 \\ 0.00000001 & 0.67066438 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

चरण 4

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $1$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\cos (\frac{π}{x})$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $1$ है.

$\sqrt{0} \cdot 4^{1}$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

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चरण 5.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{0^{2}} \cdot 4^{1}$

चरण 5.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$0 \cdot 4^{1}$

चरण 5.3

घातांक का मान ज्ञात करें.

$0 \cdot 4$

चरण 5.4

$0$ को $4$ से गुणा करें.

$0$