कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} (x^{3}) \sin (\frac{π}{x}) = 0$

चरण 1

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to 0} x^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

चरण 1.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को $x^{3}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

${(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

चरण 2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$0^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

चरण 3

बाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

चरण 4

फलन $\sin (\frac{π}{x})$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ बाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

चरण 5

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\sin (\frac{π}{x})$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के बाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0$ है.

$0$

चरण 6

दाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

चरण 7

फलन $\sin (\frac{π}{x})$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

चरण 8

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\sin (\frac{π}{x})$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0$ है.

$0^{3} \cdot 0 = 0$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

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चरण 9.1

घातांक जोड़कर $0^{3}$ को $0$ से गुणा करें.

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चरण 9.1.1

$0^{3}$ को $0$ से गुणा करें.

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चरण 9.1.1.1

$0$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$0^{3} \cdot 0^{1} = 0$

चरण 9.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$0^{3 + 1} = 0$

चरण 9.1.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$0^{4} = 0$

चरण 9.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 = 0$