कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

चरण 1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

चरण 2

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

चरण 3

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

चरण 4

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

चरण 5

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को $x^{3}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

चरण 6

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

चरण 7

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

चरण 8

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

चरण 9

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

चरण 9.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

चरण 10

बाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

चरण 11

फलन $\sin (\frac{2 π}{x})$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ बाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

चरण 12

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\sin (\frac{2 π}{x})$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के बाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0$ है.

$0$

चरण 13

दाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

चरण 14

फलन $\sin (\frac{2 π}{x})$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

चरण 15

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\sin (\frac{2 π}{x})$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0$ है.

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

चरण 16

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

चरण 16.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

चरण 16.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

चरण 16.4

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

चरण 16.5

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

चरण 16.6

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

चरण 16.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 \cdot (1 - 0)$

चरण 16.7.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$0 \cdot (1 + 0)$

चरण 16.8

$1$ और $0$ जोड़ें.

$0 \cdot 1$

चरण 16.9

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$0$