कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}}$

चरण 1

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ लागू करें.

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चरण 1.1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}$ को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

चरण 1.2

$\sin (4 x)$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$\sin (4 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

चरण 1.3.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ को $\csc (x)$ में बदलें.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \csc (x)}$

चरण 2

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\sqrt{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \csc (x)}$

चरण 3

बाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \csc (x)$

चरण 4

फलन $\sin (4 x) \csc (x)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ बाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 3.9006813 \\ - 0.01 & 3.99900006 \\ - 0.001 & 3.99999 \\ - 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

चरण 5

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $4$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\sin (4 x) \csc (x)$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के बाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $4$ है.

$4$

चरण 6

दाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \csc (x)$

चरण 7

फलन $\sin (4 x) \csc (x)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ 0.1 & 3.9006813 \\ 0.01 & 3.99900006 \\ 0.001 & 3.99999 \\ 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

चरण 8

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $4$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\sin (4 x) \csc (x)$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $4$ है.

$\sqrt{4}$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

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चरण 9.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{2^{2}}$

चरण 9.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$2$