कैलकुलस उदाहरण

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 x - 1)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = {(2 x + 1)}^{- 1}$ और $g (x) = 3 x - 1$ है.

${(2 x + 1)}^{- 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

${(2 x + 1)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

चरण 2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

चरण 2.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

${(2 x + 1)}^{- 1} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

चरण 2.6.2

$3$ को ${(2 x + 1)}^{- 1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \cdot {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.3

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + 0))$

चरण 4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} \cdot 2)$

चरण 4.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- 2 {(2 x + 1)}^{- 2})$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 2} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.2

$- 2$ और $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x) - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.5

$- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.5.2

$- 3$ और $\frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3 \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.5.3

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 6}{{(2 x + 1)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.5.4

$\frac{- 6}{{(2 x + 1)}^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{- 6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.6

$- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + 1 \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.6.2

$\frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

चरण 5.2.8

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 \frac{1}{2 x + 1}$

चरण 5.2.9

$3$ और $\frac{1}{2 x + 1}$ को मिलाएं.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3}{2 x + 1}$

चरण 5.3

$\frac{3}{2 x + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ से गुणा करें.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.4

प्रत्येक व्यंजक को ${(2 x + 1)}^{2}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\frac{3}{2 x + 1}$ को $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ से गुणा करें.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x + 1)} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.4.2

$2 x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1} (2 x + 1)} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.4.3

$2 x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1} {(2 x + 1)}^{1}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 6 x + 3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 6 x + 3 (2 x + 1) + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 x + 6 x + 3 \cdot 1 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.7.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 x + 6 x + 3 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.8

$- 6 x$ और $6 x$ जोड़ें.

$\frac{0 + 3 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.9

$0$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{3 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.10

$3$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{5}{{(2 x + 1)}^{2}}$