कैलकुलस उदाहरण

${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ $f' (g (v)) g' (v)$ है, जहाँ $f (v) = v^{- \frac{1}{2}}$ और $g (v) = 1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{1}{2}$ है.

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ से बदलें.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 5.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{{(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 6.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 6.3

योग नियम के अनुसार, $v$ के संबंध में $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$ है.

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}])$

चरण 6.4

चूंकि $v$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $v$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}])$

चरण 6.5

$0$ और $\frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 6.6

चूंकि $- 1$ , $v$ के संबंध में स्थिर है, $v$ के संबंध में $- {(\frac{v}{c})}^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$ है.

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}])$

चरण 6.7

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 6.7.2

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$

चरण 7

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ $f' (g (v)) g' (v)$ है, जहाँ $f (v) = v^{2}$ और $g (v) = \frac{v}{c}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\frac{v}{c}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

चरण 7.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

चरण 7.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\frac{v}{c}$ से बदलें.

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{v}{c} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

चरण 8

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2$ और $\frac{v}{c}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 v}{c} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

चरण 8.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$\frac{2 v}{c}$ को $\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 v}{c (2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 v}{c (2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

चरण 8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

चरण 8.3

चूंकि $\frac{1}{c}$ , $v$ के संबंध में स्थिर है, $v$ के संबंध में $\frac{v}{c}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{c} \frac{d}{d v} [v]$ है.

$\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} (\frac{1}{c} \frac{d}{d v} [v])$

चरण 8.4

$\frac{1}{c}$ को $\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})}$ से गुणा करें.

$\frac{v}{c (c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}))} \frac{d}{d v} [v]$

चरण 9

$c$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{v}{c^{1} c {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

चरण 10

$c$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{v}{c^{1} c^{1} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

चरण 11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{v}{c^{1 + 1} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

चरण 12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

चरण 13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

चरण 14

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 14.2

उत्पाद नियम को $\frac{v}{c}$ पर लागू करें.

$\frac{v}{c^{2} {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{\frac{3}{2}}}$