कैलकुलस उदाहरण

$\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$

चरण 1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $arcsec (\frac{u}{2})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$ $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}$ है.

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}]$

चरण 1.2

$\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}$ को ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 1.3

$\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d u} [{({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

चरण 1.4

घातांक को ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

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चरण 1.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

चरण 1.4.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

चरण 1.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ $f' (g (u)) g' (u)$ है, जहाँ $f (u) = u^{- \frac{1}{2}}$ और $g (u) = {(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{1}{2}$ है.

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ से बदलें.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 6.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 7

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 7.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 7.2.1

${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 7.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

चरण 7.3

योग नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1]$ है.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 8

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ $f' (g (u)) g' (u)$ है, जहाँ $f (u) = u^{2}$ और $g (u) = \frac{u}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\frac{u}{2}$ के रूप में सेट करें.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 8.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 8.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\frac{u}{2}$ से बदलें.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 9

अवकलन करें.

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चरण 9.1

$2$ और $\frac{u}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 9.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 9.2.2

$u$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 9.3

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $u$ के संबंध में स्थिर है, $u$ के संबंध में $\frac{u}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]$ है.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u (\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 9.4

$\frac{1}{2}$ और $u$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 9.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 9.6

$\frac{u}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + \frac{d}{d u} [- 1])$

चरण 9.7

चूंकि $u$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $u$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + 0)$

चरण 9.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.8.1

$\frac{u}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{u}{2}$

चरण 9.8.2

$\frac{u}{2}$ को $\frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

$- \frac{u}{2 (2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})}$

चरण 9.8.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{u}{4 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 10

सरल करें.

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चरण 10.1

उत्पाद नियम को $\frac{u}{2}$ पर लागू करें.

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 10.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{4} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$