कैलकुलस उदाहरण

$\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t}$

चरण 1

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{t}]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{t}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = \sin (4 t - \frac{π}{4})$ और $g (t) = t$ है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [\sin (4 t - \frac{π}{4})] - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \sin (t)$ और $g (t) = 4 t - \frac{π}{4}$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 t - \frac{π}{4}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 3.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (u) \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 t - \frac{π}{4}$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $4 t - \frac{π}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}]$ है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 4.2

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 4.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 4.5

चूंकि $t$ के संबंध में $- \frac{π}{4}$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- \frac{π}{4}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 + 0)) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.6.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) \cdot 4) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 4.6.2

$4$ को $\cos (4 t - \frac{π}{4})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cdot \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 4.7

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \cdot 1}{t^{2}}$

चरण 4.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 4.8.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{t^{2}}$

चरण 4.8.2

$\frac{1}{3}$ को $\frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{t^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t^{2}}$

चरण 4.8.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{4 t \cos (4 t - \frac{π}{4}) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t^{2}}$