कैलकुलस उदाहरण

$\frac{\cos (6 t)}{t^{3} - 27}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = \cos (6 t)$ और $g (t) = t^{3} - 27$ है.

$\frac{(t^{3} - 27) \frac{d}{d t} [\cos (6 t)] - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \cos (t)$ और $g (t) = 6 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $6 t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(t^{3} - 27) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (u) \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $6 t$ से बदलें.

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (6 t) \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $6$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $6 t$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (6 t) (6 \frac{d}{d t} [t])) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 3.2

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t) \frac{d}{d t} [t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t) \cdot 1) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 3.4

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 3.5

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{3} - 27$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27]$ है.

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27])}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 27])}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 3.7

चूंकि $t$ के संबंध में $- 27$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 27$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2} + 0)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 3.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.8.1

$3 t^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2})}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 3.8.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{t^{3} (- 6 \sin (6 t)) - 27 (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 4.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 4.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) - 27 (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 4.2.1.2

$- 6$ को $- 27$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 4.2.2

गुणनखंडों को $- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 \cos (6 t) t^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 t^{2} \cos (6 t)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

चरण 4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) - 3 t^{2} \cos (6 t) + 162 \sin (6 t)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$