कैलकुलस उदाहरण

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $a$ के संबंध में ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ है.

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ $f' (g (a)) g' (a)$ है, जहाँ $f (a) = a^{4}$ और $g (a) = a + b$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $a + b$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

चरण 1.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

चरण 1.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $a + b$ से बदलें.

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

चरण 1.2.2

योग नियम के अनुसार, $a$ के संबंध में $a + b$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ है.

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ $n a^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

चरण 1.2.4

चूंकि $a$ के संबंध में $b$ स्थिर है, $a$ के संबंध में $b$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

चरण 1.2.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

चरण 1.2.6

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $a$ के संबंध में स्थिर है, $a$ के संबंध में $- {(a - b)}^{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ है.

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ $f' (g (a)) g' (a)$ है, जहाँ $f (a) = a^{4}$ और $g (a) = a - b$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $a - b$ के रूप में सेट करें.

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

चरण 1.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

चरण 1.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $a - b$ से बदलें.

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

चरण 1.3.3

योग नियम के अनुसार, $a$ के संबंध में $a - b$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ है.

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

चरण 1.3.4

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

चरण 1.3.5

चूंकि $a$ के संबंध में $- b$ स्थिर है, $a$ के संबंध में $- b$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

चरण 1.3.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

चरण 1.3.7

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

चरण 1.3.8

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$4 {(a + b)}^{3}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

चरण 1.4.1.2

$- 4 {(a - b)}^{3}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

चरण 1.4.1.3

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

चरण 1.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

चरण 1.4.2.2

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

चरण 1.4.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

चरण 1.4.2.3.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

चरण 1.4.2.3.3

उत्पाद नियम को $- b$ पर लागू करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

चरण 1.4.2.3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

चरण 1.4.2.3.5

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

चरण 1.4.2.3.6

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

चरण 1.4.2.3.7

उत्पाद नियम को $- b$ पर लागू करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

चरण 1.4.2.3.8

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

चरण 1.4.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

चरण 1.4.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.5.1

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

चरण 1.4.2.5.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

चरण 1.4.2.5.3

$- - b^{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.5.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

चरण 1.4.2.5.3.2

$b^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

चरण 1.4.2.6

कोष्ठक हटा दें.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

चरण 1.4.3

$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$a^{3}$ में से $a^{3}$ घटाएं.

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

चरण 1.4.3.2

$3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

चरण 1.4.3.3

$3 a b^{2}$ में से $3 a b^{2}$ घटाएं.

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

चरण 1.4.3.4

$3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ और $0$ जोड़ें.

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

चरण 1.4.4

$3 a^{2} b$ और $3 a^{2} b$ जोड़ें.

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

चरण 1.4.5

$b^{3}$ और $b^{3}$ जोड़ें.

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

चरण 1.4.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

चरण 1.4.7

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

चरण 1.4.8

$6$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $a$ के संबंध में $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ है.

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

चरण 2.1.2

चूंकि $a$ के संबंध में $8 b^{3}$ स्थिर है, $a$ के संबंध में $8 b^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $24 b$ , $a$ के संबंध में स्थिर है, $a$ के संबंध में $24 a^{2} b$ का व्युत्पन्न $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ है.

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ $n a^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 24 b (2 a)$

चरण 2.2.3

$2$ को $24$ से गुणा करें.

$0 + 48 b a$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0$ और $48 b a$ जोड़ें.

$48 b a$

चरण 2.3.2

$48 b a$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f'' (a) = 48 a b$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $48 b$ , $a$ के संबंध में स्थिर है, $a$ के संबंध में $48 a b$ का व्युत्पन्न $48 b \frac{d}{d a} [a]$ है.

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

चरण 3.2

$48 b \cdot 1$

चरण 3.3

$48$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (a) = 48 b$

चरण 4

चूंकि $a$ के संबंध में $48 b$ स्थिर है, $a$ के संबंध में $48 b$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f^{4} (a) = 0$