कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{0}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1}$

चरण 1

$i$ के शुरुआती मान को $1$ के बराबर बनाने के लिए योग को विभाजित करें.

$\sum_{0}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} = \sum_{i = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} + \sum_{i = 0}^{0} 4^{i} - 4^{i - 1}$

चरण 2

$\sum_{i = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग को छोटे योगों में विभाजित करें जो योग के नियमों के अनुकूल हों.

$\sum_{k = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} = \sum_{k = 1}^{30} 4^{i} + \sum_{k = 1}^{30} - 4^{i - 1}$

चरण 2.2

$\sum_{k = 1}^{30} 4^{i}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

एक परिमित ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2.2.2

सूत्र $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$a_{k}$ और $a_{k + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{4^{i + 1}}{4^{i}}$

चरण 2.2.2.2

$4^{i + 1}$ और $4^{i}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$4^{i + 1}$ में से $4^{i}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i}}$

चरण 2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{4}{1}$

चरण 2.2.2.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = 4$

चरण 2.2.3

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके श्रृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$i$ के स्थान पर $4^{i}$ में $1$ प्रतिस्थापित करें.

$a = 4^{1}$

चरण 2.2.3.2

घातांक का मान ज्ञात करें.

$a = 4$

चरण 2.2.4

योग सूत्र में अनुपात, प्रथम पद और पदों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करें.

$4 \frac{1 - 4^{30}}{1 - 1 \cdot 4}$

चरण 2.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1.1

$4$ को $30$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \frac{1 - 1 \cdot 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

चरण 2.2.5.1.2

$- 1$ को $1152921504606850000$ से गुणा करें.

$4 \frac{1 - 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

चरण 2.2.5.1.3

$1$ में से $1152921504606850000$ घटाएं.

$4 \frac{- 1152921504606849999}{1 - 1 \cdot 4}$

चरण 2.2.5.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$4 \frac{- 1152921504606849999}{1 - 4}$

चरण 2.2.5.2.2

$1$ में से $4$ घटाएं.

$4 (\frac{- 1152921504606849999}{- 3})$

चरण 2.2.5.3

$- 1152921504606849999$ को $- 3$ से विभाजित करें.

$4 \cdot 384307168202283333$

चरण 2.2.5.4

$4$ को $384307168202283333$ से गुणा करें.

$1537228672809133332$

चरण 2.3

$\sum_{k = 1}^{30} - 4^{i - 1}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चरण 2.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$a_{k}$ और $a_{k + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{- 4^{i + 1 - 1}}{- 4^{i - 1}}$

चरण 2.3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$r = \frac{4^{i + 1 - 1}}{4^{i - 1}}$

चरण 2.3.2.2.2

$4^{i + 1 - 1}$ और $4^{i - 1}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.2.1

$4^{i + 1 - 1}$ में से $4^{i - 1}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1}}$

चरण 2.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

चरण 2.3.2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

चरण 2.3.2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{4^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

चरण 2.3.2.2.2.2.4

$4^{i + 0 - (i - 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = 4^{i + 0 - (i - 1)}$

चरण 2.3.2.2.3

$i$ और $0$ जोड़ें.

$r = 4^{i - (i - 1)}$

चरण 2.3.2.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = 4^{i - i - - 1}$

चरण 2.3.2.2.4.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$r = 4^{i - i + 1}$

चरण 2.3.2.2.5

$i$ में से $i$ घटाएं.

$r = 4^{0 + 1}$

चरण 2.3.2.2.6

$0$ और $1$ जोड़ें.

$r = 4^{1}$

चरण 2.3.2.2.7

घातांक का मान ज्ञात करें.

$r = 4$

चरण 2.3.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$i$ के स्थान पर $- 4^{i - 1}$ में $1$ प्रतिस्थापित करें.

$a = - 4^{1 - 1}$

चरण 2.3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$a = - 4^{0}$

चरण 2.3.3.2.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = - 1 \cdot 1$

चरण 2.3.3.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$a = - 1$

चरण 2.3.4

योग सूत्र में अनुपात, प्रथम पद और पदों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{1 - 4^{30}}{1 - 1 \cdot 4}$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$4$ को $30$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1 - 1 \cdot 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

चरण 2.3.5.1.2

$- 1$ को $1152921504606850000$ से गुणा करें.

$- \frac{1 - 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

चरण 2.3.5.1.3

$1$ में से $1152921504606850000$ घटाएं.

$- \frac{- 1152921504606849999}{1 - 1 \cdot 4}$

चरण 2.3.5.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{- 1152921504606849999}{1 - 4}$

चरण 2.3.5.2.2

$1$ में से $4$ घटाएं.

$- \frac{- 1152921504606849999}{- 3}$

चरण 2.3.5.3

$- 1152921504606849999$ को $- 3$ से विभाजित करें.

$- 1 \cdot 384307168202283333$

चरण 2.3.5.4

$- 1$ को $384307168202283333$ से गुणा करें.

$- 384307168202283333$

चरण 2.4

योग के परिणाम जोड़ें.

$1537228672809133332 - 384307168202283333$

चरण 2.5

$1537228672809133332$ में से $384307168202283333$ घटाएं.

$1152921504606849999$

चरण 3

$\sum_{i = 0}^{0} 4^{i} - 4^{i - 1}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$i$ के प्रत्येक मान के लिए श्रंखला का प्रसार करें.

$4^{0} - 4^{0 - 1}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$4$ को $0$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 4^{0 - 1}$

चरण 3.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$1 - 4^{- 1}$

चरण 3.2.3

$4$ को $- 1$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 1 \cdot 0.25$

चरण 3.2.4

$- 1$ को $0.25$ से गुणा करें.

$1 - 0.25$

चरण 3.2.5

$1$ में से $0.25$ घटाएं.

$0.75$

चरण 4

योगों को पाए गए मानों से बदलें.

$1152921504606849999 + 0.75$

चरण 5

$1152921504606849999$ और $0.75$ जोड़ें.

$1152921504606849999.75$