कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{x - 2 π}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

जैसे-जैसे $x$ $2 π$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \sin (x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.2

जैसे ही $x$ $2 π$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot lim_{x \to 2 π} \sin (x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.4

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.5

$4 π^{2}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $2 π$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.6

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $2 π$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$x$ के लिए $2 π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 π \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.6.2

$x$ के लिए $2 π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 π \cdot \sin (2 π) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.6.3

$x$ के लिए $2 π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 π \cdot \sin (2 π) + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$\frac{2 π \cdot \sin (0) + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.7.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{2 π \cdot 0 + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.7.1.3

$2 π \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.3.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{0 π + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.7.1.3.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{0 + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.7.1.4

उत्पाद नियम को $2 π$ पर लागू करें.

$\frac{0 + 2^{2} π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.7.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{0 + 4 π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.7.2

$0$ और $4 π^{2}$ जोड़ें.

$\frac{4 π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.2.7.3

$4 π^{2}$ में से $4 π^{2}$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - lim_{x \to 2 π} 2 π}$

चरण 1.3.1.2

$2 π$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $2 π$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

चरण 1.3.2

$x$ के लिए $2 π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{2 π - 2 π}$

चरण 1.3.3

$2 π$ में से $2 π$ घटाएं.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{x - 2 π} = lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]$ है.

$lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3.3.4

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4 π^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 π^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$x \cos (x) + \sin (x) + 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

चरण 3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2 π$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ है.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

चरण 3.8

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

चरण 3.9

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2 π$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 π$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1 + 0}$

चरण 3.10

$1$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1}$

चरण 4

$x \cos (x) + 2 x + \sin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to 2 π} x \cos (x) + 2 x + \sin (x)$

चरण 5

$lim_{x \to 2 π} x \cos (x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

चरण 6

$lim_{x \to 2 π} x \cdot lim_{x \to 2 π} \cos (x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

चरण 7

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

चरण 8

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

चरण 9

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

चरण 10

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $2 π$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$x$ के लिए $2 π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$2 π \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

चरण 10.2

$x$ के लिए $2 π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

चरण 10.3

$x$ के लिए $2 π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 (2 π) + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

चरण 10.4

$x$ के लिए $2 π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

चरण 11

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$2 π \cdot \cos (0) + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

चरण 11.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 π \cdot 1 + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

चरण 11.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 π + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

चरण 11.1.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 π + 4 π + \sin (2 π)$

चरण 11.1.5

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$2 π + 4 π + \sin (0)$

चरण 11.1.6

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 π + 4 π + 0$

चरण 11.2

$2 π$ और $4 π$ जोड़ें.

$6 π + 0$

चरण 11.3

$6 π$ और $0$ जोड़ें.

$6 π$