कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\sqrt{5 x}}{5} + \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{\sqrt{5 x}}{5} d x + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 2

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{5 x} d x + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = 5 x$ .फिर $d u_{1} = 5 d x$ , तो $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{1} = 5 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$5 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

चरण 3.1.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 \cdot 1$

चरण 3.1.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5$

चरण 3.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 4

$\sqrt{u_{1}}$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{1}{5}$ को $\frac{1}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5 \cdot 5} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 6.1.2

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{25} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 6.2

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{25} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 8

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{5 x}} d x$

चरण 9

मान लीजिए $u_{2} = 5 x$ .फिर $d u_{2} = 5 d x$ , तो $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u_{2} = 5 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$5 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

चरण 9.1.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 9.1.3

$5 \cdot 1$

चरण 9.1.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5$

चरण 9.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{5} d u_{2}$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ को $\frac{1}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 5} d u_{2}$

चरण 10.2

$5$ को $\sqrt{u_{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{5 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

चरण 12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{1}{5}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{5}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

चरण 12.1.2

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{5}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

चरण 12.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 1 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

चरण 12.1.3

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

चरण 12.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$\sqrt{u_{2}}$ को ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

चरण 12.2.2

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

चरण 12.2.3

घातांक को ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

चरण 12.2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

चरण 12.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

सरल करें.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 14.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$\frac{1}{25}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{25 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 14.2.2

$25$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{75} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 15

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$\frac{2}{75} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 15.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$\frac{2}{75} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}} + C$