कैलकुलस उदाहरण

$\int (18 x + e^{x}) \sqrt{9 x^{2} + e^{x}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 9 x^{2} + e^{x}$ .फिर $d u = (18 x + e^{x}) d x$ , तो $\frac{1}{18 x + e^{x}} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 9 x^{2} + e^{x}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$9 x^{2} + e^{x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + e^{x}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 x^{2} + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$18 x + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 1.1.4

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$18 x + e^{x}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{u} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 4

$u$ की सभी घटनाओं को $9 x^{2} + e^{x}$ से बदलें.

$\frac{2}{3} {(9 x^{2} + e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$