कैलकुलस उदाहरण

$\int (1 - \cos (\frac{x}{2})) \sin (\frac{x}{2}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = \frac{x}{2}$ .फिर $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , तो $2 d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = \frac{x}{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{x}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 1.1.4

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

चरण 2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

चरण 2.3

$2$ को $(1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int 2 (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $u_{1}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , तो $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = \cos (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\cos (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

चरण 4.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1})$

चरण 4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int - 1 + u_{2} d u_{2}$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int - 1 d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (- u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$2 (- u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ और ${u_{2}}^{2}$ को मिलाएं.

$2 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

चरण 8.2

सरल करें.

$2 (- u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

चरण 9

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (u_{1})$ से बदलें.

$2 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (u_{1})) + C$

चरण 9.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (\frac{x}{2})) + C$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{2}$ और $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ को मिलाएं.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2}) + C$

चरण 10.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (- \cos (\frac{x}{2})) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

चरण 10.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

चरण 10.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

चरण 10.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + C$

चरण 11

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 \cos (\frac{1}{2} x) + \cos^{2} (\frac{1}{2} x) + C$