कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (\sin (x))$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ को $\csc (x)$ में बदलें.

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\csc (x) \cos (x)$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\csc (x) \cos (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\cos (x) \csc (x)$

चरण 1.4.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (x)$ को फिर से लिखें.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

चरण 1.4.3

$\cos (x)$ और $\frac{1}{\sin (x)}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

चरण 1.4.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ को $\cot (x)$ में बदलें.

$f' (x) = \cot (x)$

चरण 2

$x$ के संबंध में $\cot (x)$ का व्युत्पन्न $- \csc^{2} (x)$ है.

$f'' (x) = - \csc^{2} (x)$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \csc^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ है.

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \csc (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\csc (x)$ के रूप में सेट करें.

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\csc (x)$ से बदलें.

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

चरण 3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

चरण 3.4

$x$ के संबंध में $\csc (x)$ का व्युत्पन्न $- \csc (x) \cot (x)$ है.

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

चरण 3.5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

चरण 3.6

$\csc (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

चरण 3.7

$\csc (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

चरण 3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

चरण 3.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f''' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

चरण 4.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \csc^{2} (x)$ और $g (x) = \cot (x)$ है.

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

चरण 4.3

$x$ के संबंध में $\cot (x)$ का व्युत्पन्न $- \csc^{2} (x)$ है.

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

चरण 4.4

घातांक जोड़कर $\csc^{2} (x)$ को $\csc^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$\csc^{2} (x)$ ले जाएं.

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

चरण 4.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

चरण 4.4.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

चरण 4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $\csc^{4} (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

चरण 4.5.2

$- 1 \csc^{4} (x)$ को $- \csc^{4} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

चरण 4.6

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\csc (x)$ के रूप में सेट करें.

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

चरण 4.6.2

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

चरण 4.6.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\csc (x)$ से बदलें.

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

चरण 4.7

$2$ को $\cot (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

चरण 4.8

$x$ के संबंध में $\csc (x)$ का व्युत्पन्न $- \csc (x) \cot (x)$ है.

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

चरण 4.9

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

चरण 4.10

$\cot (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

चरण 4.11

$\cot (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

चरण 4.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

चरण 4.13

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

चरण 4.14

$\csc (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

चरण 4.15

$\csc (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

चरण 4.16

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

चरण 4.17

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

चरण 4.18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

चरण 4.18.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.2.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

चरण 4.18.2.2

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

चरण 4.18.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f^{4} (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$