कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 2 x + 1$ और $g (x) = 2 x - 1$ है.

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(2 x - 1) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6.2

$2$ को $2 x - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.8

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.9

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.10

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.11

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.12.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.12.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (2 x - 1) - 2 (2 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1.1

$2 (2 x)$ में से $2 (2 x)$ घटाएं.

$\frac{2 \cdot - 1 + 0 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3.1.2

$2 \cdot - 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 \cdot - 1 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3.2.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3.3

$- 2$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{- 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$ है.

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$

चरण 2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ को ${({(2 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 \frac{d}{d x} [{({(2 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

चरण 2.1.2.2

घातांक को ${({(2 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

चरण 2.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{- 2}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = 2 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$- 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - 1$ से बदलें.

$- 4 (- 2 {(2 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$8 ({(2 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.4

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 + 0)$

चरण 2.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$8 {(2 x - 1)}^{- 3} \cdot 2$

चरण 2.3.7.2

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 {(2 x - 1)}^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$16 \frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}$

चरण 2.4.2

$16$ और $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{16}{{(2 x - 1)}^{3}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{16}{{(2 x - 1)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}]$ है.

$16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}]$

चरण 3.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}$ को ${({(2 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$16 \frac{d}{d x} [{({(2 x - 1)}^{3})}^{- 1}]$

चरण 3.1.2.2

घातांक को ${({(2 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

चरण 3.1.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$16 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{- 3}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = 2 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$16 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$16 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - 1$ से बदलें.

$16 (- 3 {(2 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 3$ को $16$ से गुणा करें.

$- 48 ({(2 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.3.4

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 3.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} (2 + 0)$

चरण 3.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$- 48 {(2 x - 1)}^{- 4} \cdot 2$

चरण 3.3.7.2

$2$ को $- 48$ से गुणा करें.

$- 96 {(2 x - 1)}^{- 4}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 96 \frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- 96$ और $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 96}{{(2 x - 1)}^{4}}$

चरण 3.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f''' (x) = - \frac{96}{{(2 x - 1)}^{4}}$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चूंकि $- 96$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{96}{{(2 x - 1)}^{4}}$ का व्युत्पन्न $- 96 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}]$ है.

$- 96 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}]$

चरण 4.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}$ को ${({(2 x - 1)}^{4})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 96 \frac{d}{d x} [{({(2 x - 1)}^{4})}^{- 1}]$

चरण 4.1.2.2

घातांक को ${({(2 x - 1)}^{4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 96 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4 \cdot - 1}]$

चरण 4.1.2.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 96 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{- 4}]$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 4}$ और $g (x) = 2 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$- 96 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 4$ है.

$- 96 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - 1$ से बदलें.

$- 96 (- 4 {(2 x - 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 4.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 4$ को $- 96$ से गुणा करें.

$384 ({(2 x - 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.3.4

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} (2 + 0)$

चरण 4.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$384 {(2 x - 1)}^{- 5} \cdot 2$

चरण 4.3.7.2

$2$ को $384$ से गुणा करें.

$768 {(2 x - 1)}^{- 5}$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$768 \frac{1}{{(2 x - 1)}^{5}}$

चरण 4.4.2

$768$ और $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{5}}$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{768}{{(2 x - 1)}^{5}}$

चरण 5

$x$ के संबंध में $f (x)$ का चौथा व्युत्पन्न $\frac{768}{{(2 x - 1)}^{5}}$ है.

$\frac{768}{{(2 x - 1)}^{5}}$