कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

चरण 2.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

चरण 2.2

$\cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\sin^{2} (t) \cos (t)$ में से $\cos (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

चरण 3

$\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ को $\csc^{2} (t)$ में बदलें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \csc^{2} (t) d t$

चरण 4

चूंकि $- \cot (t)$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (t)$ है, $\csc^{2} (t)$ का समाकलन $- \cot (t)$ है.

$- \cot (t)]_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})}$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ पर और $\frac{π}{6}$ पर $- \cot (t)$ का मान ज्ञात करें.

$(- \cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))) + \cot (\frac{π}{6})$

चरण 5.2

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))$ $\frac{i \sqrt{3}}{3}$ है.

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \cot (\frac{π}{6})$

चरण 6

$\cot (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\sqrt{3}$ है.

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}$

चरण 7