कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{x} \cdot \ln (\frac{1}{x}) d x$

चरण 1

$\frac{1}{x}$ और $\ln (\frac{1}{x})$ को मिलाएं.

$\int \frac{\ln (\frac{1}{x})}{x} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ .फिर $d u_{2} = - \frac{1}{x} d x$ , तो $- d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\ln (\frac{1}{x})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

चरण 2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{1}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{1}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 2.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 2.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{x}$ से बदलें.

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{x}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 2.1.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 2.1.4.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 2.1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$x (- x^{- 2})$

चरण 2.1.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (x^{1} x^{- 2})$

चरण 2.1.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- x^{1 - 2}$

चरण 2.1.8

$1$ में से $2$ घटाएं.

$- x^{- 1}$

चरण 2.1.9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{x}$

चरण 2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int - u_{2} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int u_{2} d u_{2}$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 5

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ को $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 6

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\ln (\frac{1}{x})$ से बदलें.

$- \frac{1}{2} \ln^{2} (\frac{1}{x}) + C$