कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $x = 2 \sec (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \sec (t) \tan (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \sec (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2^{2} \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.2

$4 \sec^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t)) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.3

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.4

$4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t) - 1))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.6

उत्पाद नियम को $4 \tan^{2} (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{3} {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.7

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.8

घातांक को ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.8.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.8.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{64 \tan^{6} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.9

$64 \tan^{6} (t)$ को ${(8 \tan^{3} (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(8 \tan^{3} (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.10

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{8 \tan^{3} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$2 \tan (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$8 \tan^{3} (t)$ में से $2 \tan (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.2.1.2

$2 \sec (t) \tan (t)$ में से $2 \tan (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

चरण 3.2.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

चरण 3.2.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{4 \tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

चरण 3.2.2

$\frac{1}{4 \tan^{2} (t)}$ और $\sec (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\sec (x)$ को $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 5.2

प्रतिलोम सर्वसमिका को लागू करें.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 5.3.2

जोड़ना.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 5.3.3

$\csc (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 5.3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cot (t)}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 5.3.4.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 5.3.5

$\cot (t)$ और $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 5.3.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.6.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 5.3.6.2

${\cot (t)}^{2}$ में से $\cot (t)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

चरण 5.3.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

चरण 5.3.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

चरण 5.3.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

चरण 6

चूंकि $- \csc (t)$ का व्युत्पन्न $\csc (t) \cot (t)$ है, $\csc (t) \cot (t)$ का समाकलन $- \csc (t)$ है.

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सरल करें.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

चरण 7.2

$\frac{1}{4}$ और $\csc (t)$ को मिलाएं.

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

चरण 8

$t$ की सभी घटनाओं को $arcsec (\frac{x}{2})$ से बदलें.

$- \frac{\csc (arcsec (\frac{x}{2}))}{4} + C$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $arcsec (\frac{x}{2})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\csc (arcsec (\frac{x}{2}))$ $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ है.

$- \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

चरण 9.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

चरण 9.1.3

जोड़ना.

$- \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

चरण 9.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

चरण 9.1.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = \frac{x}{2}$ और $b = 1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.3.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.3.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.3.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.3.6

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.4

$\frac{x + 2}{2}$ को $\frac{x - 2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.6

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.6.1

$(x + 2) (x - 2)$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.6.2

$4$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.6.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{4} + C$

चरण 9.1.5.7

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$- \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{4} + C$

चरण 9.1.5.8

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

चरण 9.1.6

$2$ और $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

चरण 9.1.7

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.7.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

चरण 9.1.7.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{4} + C$

चरण 9.1.7.2

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

चरण 9.1.8

$\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ को $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

चरण 9.1.9

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.9.1

$\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ को $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

चरण 9.1.9.2

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

चरण 9.1.9.3

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}}{4} + C$

चरण 9.1.9.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{4} + C$

चरण 9.1.9.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{4} + C$

चरण 9.1.9.6

${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ को $(x + 2) (x - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.9.6.1

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ को ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4} + C$

चरण 9.1.9.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4} + C$

चरण 9.1.9.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

चरण 9.1.9.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.9.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

चरण 9.1.9.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}}{4} + C$

चरण 9.1.9.6.5

सरल करें.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{4} + C$

चरण 9.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{4}) + C$

चरण 9.3

$\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4} + C$

चरण 9.4

$4$ को $(x + 2) (x - 2)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4 (x + 2) (x - 2)} + C$