कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $x = \sec (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec (t) \tan (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.2

घातांक को ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.3

$\tan^{6} (t)$ को ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\tan (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$\tan^{3} (t)$ में से $\tan (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.2.1.2

$\sec (t) \tan (t)$ में से $\tan (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

चरण 3.2.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

चरण 3.2.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

चरण 3.2.2

$\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ और $\sec (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sec (x)$ को $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 4.2

प्रतिलोम सर्वसमिका को लागू करें.

$\int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 4.3.2

जोड़ना.

$\int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 4.3.3

$\csc (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 4.3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cot (t)}$ पर लागू करें.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 4.3.4.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 4.3.5

$\cot (t)$ और $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 4.3.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1

$1$ से गुणा करें.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 4.3.6.2

${\cot (t)}^{2}$ में से $\cot (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

चरण 4.3.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

चरण 4.3.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

चरण 4.3.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\int \csc (t) \cot (t) d t$

चरण 5

चूंकि $- \csc (t)$ का व्युत्पन्न $\csc (t) \cot (t)$ है, $\csc (t) \cot (t)$ का समाकलन $- \csc (t)$ है.

$- \csc (t) + C$

चरण 6

$t$ की सभी घटनाओं को $arcsec (x)$ से बदलें.

$- \csc (arcsec (x)) + C$