कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{6 x^{2} - 16 x + 2}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

चरण 1

$6 x^{2} - 16 x + 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

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चरण 1.1

$6 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 (3 x^{2}) - 16 x + 2}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

चरण 1.2

$- 16 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

चरण 1.3

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (1)}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

चरण 1.4

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 8 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 (3 x^{2} - 8 x) + 2 (1)}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

चरण 1.5

$2 (3 x^{2} - 8 x) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 (3 x^{2} - 8 x + 1)}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

चरण 2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{3 x^{2} - 8 x + 1}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ .फिर $d u = (3 x^{2} - 8 x + 1) d x$ , तो $\frac{1}{3 x^{2} - 8 x + 1} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 3.1

मान लें $u = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 3.1.1

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + x + 6]$

चरण 3.1.2

अवकलन करें.

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चरण 3.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 3.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.1.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 3.1.3.3

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 3.1.4

अवकलन करें.

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चरण 3.1.4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} - 8 x + 1 + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 3.1.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} - 8 x + 1 + 0$

चरण 3.1.4.3

$3 x^{2} - 8 x + 1$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} - 8 x + 1$

चरण 3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$2 (\ln (| u |) + C)$

चरण 5

सरल करें.

$2 \ln (| u |) + C$

चरण 6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ से बदलें.

$2 \ln (| x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 |) + C$