कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x (x - 1)$ .फिर $d u = (2 x - 1) d x$ , तो $\frac{1}{2 x - 1} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x (x - 1)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x (x - 1)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x (x - 1)]$

चरण 1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x - 1$ है.

$x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

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चरण 1.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 1.1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.4.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.5

$x + (x - 1) \cdot 1$

चरण 1.1.3.6

पदों को जोड़कर सरल करें.

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चरण 1.1.3.6.1

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x + x - 1$

चरण 1.1.3.6.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$2 x - 1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u$

चरण 2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C$

चरण 3

$u$ की सभी घटनाओं को $x (x - 1)$ से बदलें.

$\ln (| x (x - 1) |) + C$