कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{3 x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

चरण 1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $x = 5 \sec (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $5 \sec (t) \tan (t)$ सकारात्मक है.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

उत्पाद नियम को $5 \sec (t)$ पर लागू करें.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.1.2

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.2

$25 \sec^{2} (t)$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.3

$- 25$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.4

$25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.6

$25 \tan^{2} (t)$ को ${(5 \tan (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$5 \tan (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$5 \sec (t) \tan (t)$ में से $5 \tan (t)$ का गुणनखंड करें.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

चरण 3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

चरण 3.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 \int {(5 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

चरण 3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$5 \sec (t)$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$3 \int {(5 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

चरण 3.2.2.2

उत्पाद नियम को $5 (\sec (t))$ पर लागू करें.

$3 \int 5^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

चरण 3.2.2.3

$5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \int 125 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

चरण 3.2.2.4

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \int 125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

चरण 3.2.2.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 \int 125 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

चरण 3.2.2.6

$1$ और $3$ जोड़ें.

$3 \int 125 \sec^{4} (t) d t$

चरण 4

चूँकि $125$ बटे $t$ अचर है, $125$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (125 \int \sec^{4} (t) d t)$

चरण 5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$125$ को $3$ से गुणा करें.

$375 \int \sec^{4} (t) d t$

चरण 5.2

$4$ को $2$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$375 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

चरण 5.3

${\sec (t)}^{2 + 2}$ को $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$375 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 6

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sec^{2} (t)$ को $1 + \tan^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$375 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

चरण 7

मान लीजिए $u = \tan (t)$ .फिर $d u = \sec^{2} (t) d t$ , तो $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = \tan (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\tan (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

चरण 7.1.2

$t$ के संबंध में $\tan (t)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (t)$ है.

$\sec^{2} (t)$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$375 \int 1 + u^{2} d u$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$375 (\int d u + \int u^{2} d u)$

चरण 9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$375 (u + C + \int u^{2} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$375 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$375 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

चरण 11.2

सरल करें.

$375 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

चरण 12

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$u$ की सभी घटनाओं को $\tan (t)$ से बदलें.

$375 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

चरण 12.2

$t$ की सभी घटनाओं को $arcsec (\frac{x}{5})$ से बदलें.

$375 (\tan (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $arcsec (\frac{x}{5})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ है.

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = \frac{x}{5}$ और $b = 1$ .

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.7

$- 1$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.9

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.10

$\frac{x + 5}{5}$ को $\frac{x - 5}{5}$ से गुणा करें.

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.11

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.12

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ को ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.12.1

$(x + 5) (x - 5)$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.12.2

$25$ में से पूर्ण घात $5^{2}$ का गुणनखंड करें.

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.12.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.13

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$375 (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.1.14

$\frac{1}{5}$ और $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ को मिलाएं.

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

चरण 13.2

$\frac{1}{3}$ और $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))$ को मिलाएं.

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3}) + C$

चरण 13.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$375 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

चरण 13.4

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$375$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$5 (75) \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

चरण 13.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 \cdot 75 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

चरण 13.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

चरण 13.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

$375$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 (125) \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

चरण 13.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 \cdot 125 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

चरण 13.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$