कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot^{3} (x) d x$

चरण 1

निराकरणीय सूत्र लागू करें.

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

चरण 2

$x$ के संबंध में $\cot (x)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (x) |)$ है.

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

चरण 3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\frac{π}{2}$ पर और $\frac{π}{4}$ पर $- \frac{\cot^{2} (x)}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2}) + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

चरण 3.1.2

$\frac{π}{2}$ पर और $\frac{π}{4}$ पर $\ln (| \sin (x) |)$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

चरण 3.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

$- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot \frac{2}{2}$

चरण 3.1.3.2

$- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

चरण 3.1.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

चरण 3.1.3.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\cot (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

चरण 3.2.2

$\cot (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

चरण 3.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

चरण 3.2.4

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

चरण 3.2.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

चरण 3.2.6

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{2} + \frac{- 0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

चरण 3.2.7

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

चरण 3.2.8

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

चरण 3.2.9

$0$ में से $2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ घटाएं.

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

चरण 3.2.10

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.10.1

$- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2}$

चरण 3.2.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.10.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 (1)}$

चरण 3.2.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} + \frac{- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{1}$

चरण 3.2.10.2.4

$- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

चरण 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ लगभग $0.70710678$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

चरण 3.3.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{2} - \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

चरण 3.3.4

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

दशमलव रूप:

$0.15342640 \dots$