कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \tan (x)$ .फिर $d u = \sec^{2} (x) d x$ , तो $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = \tan (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\tan (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$\sec^{2} (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \tan (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \tan (\frac{π}{4})$

चरण 1.3

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \tan (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

चरण 1.5

$\tan (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\sqrt{3}$ है.

$u_{upper} = \sqrt{3}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{u} d u$

चरण 2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |)]_{1}^{\sqrt{3}}$

चरण 3

$\sqrt{3}$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\ln (| \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

चरण 4

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| \sqrt{3} |}{| 1 |})$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$\sqrt{3}$ लगभग $1.7320508$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{| 1 |})$

चरण 5.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{1})$

चरण 5.3

$\sqrt{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (\sqrt{3})$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (\sqrt{3})$

दशमलव रूप:

$0.54930614 \dots$