कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{2} = \sin (2 x)$ .फिर $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{2} = \sin (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sin (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

चरण 2.1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (2 x) \cdot 2$

चरण 2.1.3.3.2

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cos (2 x)$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u_{2} = \sin (2 x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

चरण 2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

चरण 2.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

चरण 2.3.2

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u_{2} = \sin (2 x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

चरण 2.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

चरण 2.5.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

चरण 2.5.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 1$

चरण 2.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 3

$u_{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2})$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

चरण 5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

चरण 5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

चरण 5.3

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ पर और $\frac{\sqrt{3}}{2}$ पर $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

चरण 7.2.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{3}}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

चरण 8.1.2

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

चरण 8.1.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

चरण 8.1.2.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

चरण 8.1.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

चरण 8.1.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{1}}{2^{2}}$

चरण 8.1.2.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{2}}$

चरण 8.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$

चरण 8.1.4

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.4.1

$\frac{3}{4}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4 \cdot 2}$

चरण 8.1.4.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{8}$

चरण 8.3

प्रत्येक व्यंजक को $8$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{2 \cdot 4} - \frac{3}{8}$

चरण 8.3.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{4}{8} - \frac{3}{8}$

चरण 8.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 - 3}{8}$

चरण 8.5

$4$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{8}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{8}$

दशमलव रूप:

$0.125$