कैलकुलस उदाहरण

$\int \sec^{3} (5 x) \tan^{3} (5 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 5 x$ .फिर $d u_{1} = 5 d x$ , तो $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 5 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$5 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sec^{3} (u_{1}) \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{5}$ और $\sec^{3} (u_{1})$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sec^{3} (u_{1})}{5} \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 2.2

$\frac{\sec^{3} (u_{1})}{5}$ और $\tan^{3} (u_{1})$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sec^{3} (u_{1}) \tan^{3} (u_{1})}{5} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} \int \sec^{3} (u_{1}) \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

$\tan^{2} (u_{1})$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{5} \int \sec^{3} (u_{1}) (\tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1})) d u_{1}$

चरण 5

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (u_{1})$ को $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{5} \int \sec^{3} (u_{1}) ((- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1})) d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = \sec (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ , तो $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = \sec (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\sec (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

चरण 6.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sec (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ है.

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} (- 1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

चरण 7

${u_{2}}^{2} (- 1 + {u_{2}}^{2})$ गुणा करें.

$\frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को ${u_{2}}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{5} \int - 1 \cdot {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 8.2

$- 1 {u_{2}}^{2}$ को $- {u_{2}}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{5} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 8.3

घातांक जोड़कर ${u_{2}}^{2}$ को ${u_{2}}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{5} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

चरण 8.3.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{5} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{5} (\int - {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} (- \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$\frac{1}{5} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ है.

$\frac{1}{5} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$\frac{1}{3}$ और ${u_{2}}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

चरण 13.1.2

$\frac{1}{5}$ और ${u_{2}}^{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C)$

चरण 13.2

सरल करें.

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}) + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sec (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (u_{1}) + \frac{1}{5} \sec^{5} (u_{1})) + C$

चरण 14.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (5 x) + \frac{1}{5} \sec^{5} (5 x)) + C$