कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{12}}^{\frac{π}{9}} \sec^{2} (3 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 3 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 \frac{π}{12}$

चरण 1.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = 3 \frac{π}{3 (4)}$

चरण 1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = 3 \frac{π}{3 \cdot 4}$

चरण 1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 3 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{9}$

चरण 1.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (3)}$

चरण 1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 3}$

चरण 1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

चरण 2

$\sec^{2} (u)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec^{2} (u)}{3} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u$

चरण 4

चूंकि $\tan (u)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u)$ है, $\sec^{2} (u)$ का समाकलन $\tan (u)$ है.

$\frac{1}{3} \tan (u)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$

चरण 5

$\frac{π}{3}$ पर और $\frac{π}{4}$ पर $\tan (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4}))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\tan (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\sqrt{3}$ है.

$\frac{1}{3} (\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4}))$

चरण 6.2

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{3} (\sqrt{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (\sqrt{3} - 1)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{3} \sqrt{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

चरण 7.2

$\frac{1}{3}$ और $\sqrt{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

चरण 7.3

$\frac{1}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

चरण 7.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3}$

दशमलव रूप:

$0.24401693 \dots$