कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

चरण 1

भिन्न $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

चरण 3

मान लीजिए $u = - 1 - v^{2}$ .फिर $d u = - 2 v d v$ , तो $- \frac{1}{2} d u = v d v$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = - 1 - v^{2}$ . $\frac{d u}{d v}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 1 - v^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

चरण 3.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $v$ के संबंध में $- 1 - v^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ है.

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

चरण 3.1.2.2

चूंकि $v$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $v$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

चरण 3.1.3

$\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $v$ के संबंध में स्थिर है, $v$ के संबंध में $- v^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 v)$

चरण 3.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 v$

चरण 3.1.4

$0$ में से $2 v$ घटाएं.

$- 2 v$

चरण 3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

चरण 4.2

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

चरण 4.3

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

चरण 7

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

चरण 8

$- 1 - v^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

चरण 8.2

$- 1 \cdot 1$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

चरण 8.3

$- v^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

चरण 8.4

$- 1 (1) - (v^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- 1 (1 + v^{2})$ को $- (1 + v^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

चरण 9.2

$1$ और $- 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

चरण 9.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $v$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

चरण 11

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

चरण 12

$v$ के संबंध में $\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ का इंटीग्रल $\arctan (v) + C$ है.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

चरण 13

सरल करें.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $- 1 - v^{2}$ से बदलें.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$