कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{3} + \sin (22 x) + \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int x^{3} d x + \int \sin (22 x) d x + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

चरण 2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \sin (22 x) d x + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = 22 x$ .फिर $d u_{1} = 22 d x$ , तो $\frac{1}{22} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{1} = 22 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$22 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [22 x]$

चरण 3.1.2

चूंकि $22$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $22 x$ का व्युत्पन्न $22 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$22 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$22 \cdot 1$

चरण 3.1.4

$22$ को $1$ से गुणा करें.

$22$

चरण 3.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \sin (u_{1}) \frac{1}{22} d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

चरण 4

$\sin (u_{1})$ और $\frac{1}{22}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \frac{\sin (u_{1})}{22} d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{22}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{22}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

चरण 6

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{1})$ है.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int {(x + 1)}^{3} d x$

चरण 8

मान लीजिए $u_{2} = x + 1$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u_{2} = x + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 8.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 8.1.3

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 8.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 8.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 8.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ है.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}) + C$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$\frac{1}{4}$ और ${u_{2}}^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{u_{2}}^{4}}{4} + C$

चरण 10.2.2

$\frac{1}{4}$ को $\frac{{u_{2}}^{4}}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{4 \cdot 4} + C$

चरण 10.2.3

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{16} + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $22 x$ से बदलें.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (22 x)}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{16} + C$

चरण 11.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (22 x)}{22} + \frac{{(x + 1)}^{4}}{16} + C$

चरण 12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{22} \cos (22 x) + \frac{1}{16} {(x + 1)}^{4} + C$