कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{3} \cos (x^{4} + 6) \sqrt{\sin (x^{4} + 6)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = x^{4} + 6$ .फिर $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = x^{4} + 6$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{4} + 6$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 6]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 x^{3} + 0$

चरण 1.1.5

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$4 x^{3}$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \cos (u_{1}) \sqrt{\sin (u_{1})} \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{4}$ और $\cos (u_{1})$ को मिलाएं.

$\int \frac{\cos (u_{1})}{4} \sqrt{\sin (u_{1})} d u_{1}$

चरण 2.2

$\frac{\cos (u_{1})}{4}$ और $\sqrt{\sin (u_{1})}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\cos (u_{1}) \sqrt{\sin (u_{1})}}{4} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \cos (u_{1}) \sqrt{\sin (u_{1})} d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = \sin (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , तो $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = \sin (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sin (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

चरण 4.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1})$

चरण 4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

चरण 5

$\sqrt{u_{2}}$ को ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ को $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{4 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7.2.2

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{12} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7.2.3

$2$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{12} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.2.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 8

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{6} {\sin (u_{1})}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 8.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{4} + 6$ से बदलें.

$\frac{1}{6} {\sin (x^{4} + 6)}^{\frac{3}{2}} + C$