कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

चरण 2

मान लीजिए $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .फिर $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$6 - \cos (2 t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $6 - \cos (2 t)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ है.

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $t$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- \cos (2 t)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ है.

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

चरण 2.1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \cos (t)$ और $g (t) = 2 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 t$ के रूप में सेट करें.

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

चरण 2.1.3.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

चरण 2.1.3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

चरण 2.1.3.3

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

चरण 2.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

चरण 2.1.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

चरण 2.1.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

चरण 2.1.3.7

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 + 2 \sin (2 t)$

चरण 2.1.4

$0$ और $2 \sin (2 t)$ जोड़ें.

$2 \sin (2 t)$

चरण 2.2

$t$ के लिए $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

चरण 2.3.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

चरण 2.3.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 6 - 1$

चरण 2.3.2

$6$ में से $1$ घटाएं.

$u_{lower} = 5$

चरण 2.4

$t$ के लिए $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

चरण 2.5.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

चरण 2.5.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

चरण 2.5.1.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

चरण 2.5.1.4

$- (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 6 - - 1$

चरण 2.5.1.4.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 6 + 1$

चरण 2.5.2

$6$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 7$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

चरण 2.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

चरण 3.2

$2$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 5.3

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 6

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

चरण 7

$7$ पर और $5$ पर $\ln (| u_{2} |)$ का मान ज्ञात करें.

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

चरण 8

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $7$ के बीच की दूरी $7$ है.

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

चरण 9.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $5$ के बीच की दूरी $5$ है.

$\ln (\frac{7}{5})$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (\frac{7}{5})$

दशमलव रूप:

$0.33647223 \dots$