कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 18 \tan (3 x) d x$

चरण 1

चूँकि $18$ बटे $x$ अचर है, $18$ को समाकलन से हटा दें.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{12}} \tan (3 x) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 2.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 2.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = 3 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

चरण 2.3

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = 3 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{12}$

चरण 2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (4)}$

चरण 2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 4}$

चरण 2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) \frac{1}{3} d u$

चरण 3

$\tan (u)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan (u)}{3} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$18 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{3}$ और $18$ को मिलाएं.

$\frac{18}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

चरण 5.2

$18$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

चरण 5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

चरण 5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

चरण 5.2.2.4

$6$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\tan (u)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (u) |)$ है.

$6 (\ln (| \sec (u) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

चरण 7

$\frac{π}{4}$ पर और $0$ पर $\ln (| \sec (u) |)$ का मान ज्ञात करें.

$6 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\sec (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{2}{\sqrt{2}}$ है.

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))$

चरण 8.2

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.2.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})$

चरण 9.1.4

$\sqrt{2}$ लगभग $1.41421356$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})$

चरण 9.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})$

चरण 9.3

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 \ln (\sqrt{2})$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$6 \ln (\sqrt{2})$

दशमलव रूप:

$2.07944154 \dots$