कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \sin^{3} (6 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 6 x$ .फिर $d u_{1} = 6 d x$ , तो $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 6 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$6 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [6 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$6$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{1} = 6 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

चरण 1.3

$6$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{1} = 6 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{12}$

चरण 1.5

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$12$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 (2)}$

चरण 1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 \cdot 2}$

चरण 1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 1.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

चरण 2

$\sin^{3} (u_{1})$ और $\frac{1}{6}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (u_{1})}{6} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{6}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{6}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

$\sin^{2} (u_{1})$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 5

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (u_{1})$ को $1 - \cos^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , तो $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = \cos (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\cos (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

चरण 6.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1})$

चरण 6.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 6.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 6.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

चरण 6.5

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{upper} = 0$

चरण 6.6

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

चरण 6.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{0} - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{6} (\int_{1}^{0} - 1 d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0})$

चरण 10

$- u_{2}]_{1}^{0}$ और $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{6} - u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$

चरण 11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

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चरण 11.1

$0$ पर और $1$ पर $- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{6} ((- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

चरण 11.2

सरल करें.

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चरण 11.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

चरण 11.2.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

चरण 11.2.3

$\frac{1}{3}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} (0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

चरण 11.2.4

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

चरण 11.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

चरण 11.2.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

चरण 11.2.7

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3}))$

चरण 11.2.8

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

चरण 11.2.9

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{6} (0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

चरण 11.2.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

चरण 11.2.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.11.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 3 + 1}{3})$

चरण 11.2.11.2

$- 3$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 2}{3})$

चरण 11.2.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{6} (0 - - \frac{2}{3})$

चरण 11.2.13

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} (0 + 1 (\frac{2}{3}))$

चरण 11.2.14

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} (0 + \frac{2}{3})$

चरण 11.2.15

$0$ और $\frac{2}{3}$ जोड़ें.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

चरण 11.2.16

$\frac{1}{6}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{6 \cdot 3}$

चरण 11.2.17

$6$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{18}$

चरण 11.2.18

$2$ और $18$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.18.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{18}$

चरण 11.2.18.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.18.2.1

$18$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

चरण 11.2.18.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

चरण 11.2.18.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{9}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{9}$

दशमलव रूप:

$0.\overline{1}$