कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{y}{\sqrt{5 - y}} d y$

चरण 1

मान लीजिए $u = 5 - y$ .फिर $d u = - d y$ , तो $- d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 5 - y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$5 - y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [5 - y]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $5 - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$ है.

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d y} [- y]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 1 \cdot 1$

चरण 1.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 1$

चरण 1.1.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{- (- u + 5)}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int - \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

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चरण 4.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \int \frac{- u + 5}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- \int (- u + 5) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

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चरण 4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$- \int (- u + 5) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \int (- u + 5) u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5

$(- u + 5) u^{- \frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

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चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.2

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$- \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.7

$2$ में से $1$ घटाएं.

$- \int - u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.8

$- u^{\frac{1}{2}}$ और $5 u^{- \frac{1}{2}}$ को पुन: क्रमित करें.

$- \int 5 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- (\int 5 u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 7

चूँकि $5$ बटे $u$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$- (5 \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

चरण 11

सरल करें.

$- (10 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $5 - y$ से बदलें.

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

चरण 13.2

$10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$- (\frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

चरण 13.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

चरण 13.4

$3$ को $10$ से गुणा करें.

$- \frac{30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{3} (30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}) + C$