कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

चरण 2.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

चरण 2.2

$\cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

चरण 2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} (t) d t$

चरण 3

$\sin^{2} (t)$ को $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 t) d t)$

चरण 8

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 8.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 8.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 8.2

$t$ के लिए $u = 2 t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 8.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 8.4

$t$ के लिए $u = 2 t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

चरण 8.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

चरण 8.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 8.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 8.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 8.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 9

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

चरण 11

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

चरण 12

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{π}{4}$ पर और $0$ पर $t$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

चरण 12.2

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

चरण 12.3

$\frac{π}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

चरण 13.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - 0))$

चरण 13.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 + 0))$

चरण 13.4

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

चरण 13.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

चरण 14.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{π}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

चरण 14.2.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

चरण 14.3

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

चरण 14.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

चरण 15

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

दशमलव रूप:

$0.14269908 \dots$

चरण 16