कैलकुलस उदाहरण

$\int_{4}^{9} \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}]$ को $\frac{d}{d x} [2 x + 1]$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

$4 x^{2}$ को ${(2 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} + 4 x + 1}]$

चरण 1.1.2.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} + 4 x + 1^{2}}]$

चरण 1.1.2.1.3

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

चरण 1.1.2.1.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}}]$

चरण 1.1.2.1.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 2 x$ और $b = 1$ है.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x + 1)}^{2}}]$

चरण 1.1.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

चरण 1.1.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 1.1.8

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घातांक जोड़कर $4$ को $4^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$4$ को $4^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1.1

$4$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

चरण 1.3.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

चरण 1.3.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

चरण 1.3.2

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

चरण 1.3.3

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

चरण 1.3.4

$64$ और $16$ जोड़ें.

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

चरण 1.3.5

$80$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = \sqrt{81}$

चरण 1.3.6

$81$ को $9^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

चरण 1.3.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$u_{lower} = 9$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 9^{2} + 4 \cdot 9 + 1}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 81 + 4 \cdot 9 + 1}$

चरण 1.5.2

$4$ को $81$ से गुणा करें.

$u_{upper} = \sqrt{324 + 4 \cdot 9 + 1}$

चरण 1.5.3

$4$ को $9$ से गुणा करें.

$u_{upper} = \sqrt{324 + 36 + 1}$

चरण 1.5.4

$324$ और $36$ जोड़ें.

$u_{upper} = \sqrt{360 + 1}$

चरण 1.5.5

$360$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = \sqrt{361}$

चरण 1.5.6

$361$ को $19^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{upper} = \sqrt{19^{2}}$

चरण 1.5.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$u_{upper} = 19$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 19$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{9}^{19} u \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$u$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{9}^{19} \frac{u}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{19} u d u$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{19}$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$19$ पर और $9$ पर $\frac{1}{2} u^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 19^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$19$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 361 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

चरण 5.2.2

$\frac{1}{2}$ और $361$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{361}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

चरण 5.2.3

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{361}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

चरण 5.2.4

$81$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{361}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

चरण 5.2.5

$- 81$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{361}{2} + \frac{- 81}{2})$

चरण 5.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} (\frac{361}{2} - \frac{81}{2})$

चरण 5.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{361 - 81}{2}$

चरण 5.2.8

$361$ में से $81$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{280}{2}$

चरण 5.2.9

$280$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.9.1

$280$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 140}{2}$

चरण 5.2.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.9.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 140}{2 (1)}$

चरण 5.2.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 140}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{140}{1}$

चरण 5.2.9.2.4

$140$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \cdot 140$

चरण 5.2.10

$\frac{1}{2}$ और $140$ को मिलाएं.

$\frac{140}{2}$

चरण 5.2.11

$140$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.11.1

$140$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 70}{2}$

चरण 5.2.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.11.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 70}{2 (1)}$

चरण 5.2.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 70}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{70}{1}$

चरण 5.2.11.2.4

$70$ को $1$ से विभाजित करें.

$70$

चरण 6