कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3}}{(1 + x^{4}) (\ln (1 + x^{4}))} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 1 + x^{4}$ .फिर $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 1 + x^{4}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + x^{4}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$0 + 4 x^{3}$

चरण 1.1.5

$0$ और $4 x^{3}$ जोड़ें.

$4 x^{3}$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1} \ln (u_{1})} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{u_{1} \ln (u_{1})}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u_{1} \ln (u_{1}) \cdot 4} d u_{1}$

चरण 2.2

$4$ को $u_{1} \ln (u_{1})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{4 u_{1} \ln (u_{1})} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} \ln (u_{1})} d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = \ln (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , तो $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = \ln (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\ln (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

चरण 4.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}}$

चरण 4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 5

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

चरण 6

सरल करें.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 7

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

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चरण 7.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\ln (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \ln (| \ln (u_{1}) |) + C$

चरण 7.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{4}$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \ln (| \ln (1 + x^{4}) |) + C$