कैलकुलस उदाहरण

$\int (3 x^{2} - 1) \cos (2 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = 3 x^{2} - 1$ और $d v = \cos (2 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$(3 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (6 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (6 x) d x$

चरण 2.2

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} (6 x) d x$

चरण 2.3

$6$ और $\frac{\sin (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{6 \sin (2 x)}{2} x d x$

चरण 2.4

$\frac{6 \sin (2 x)}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{6 \sin (2 x) x}{2} d x$

चरण 2.5

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$6 \sin (2 x) x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2} d x$

चरण 2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2 (1)} d x$

चरण 2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2 \cdot 1} d x$

चरण 2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{3 \sin (2 x) x}{1} d x$

चरण 2.5.2.4

$3 \sin (2 x) x$ को $1$ से विभाजित करें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int 3 \sin (2 x) x d x$

चरण 3

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - (3 \int \sin (2 x) x d x)$

चरण 4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 \int \sin (2 x) x d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sin (2 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\cos (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

चरण 6.2

$x$ और $\frac{\cos (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

चरण 6.3

$\cos (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

चरण 8.2

$\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

चरण 10

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 10.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 10.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 11

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

चरण 13.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

चरण 14

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ को $\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

चरण 15.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$\frac{1}{4}$ और $\sin (u)$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

चरण 15.2.2

$- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 15.2.3

$- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} + \frac{- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 15.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 15.2.5

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 16

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.1

$x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.1.1

$x^{2} (3 \sin (2 x))$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x))) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.1.2

$- 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x))) + 3 (- 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.1.3

$3 (x^{2} (\sin (2 x))) + 3 (- 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2}) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.3.1

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.3.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 2 (- 1) \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 2 \cdot - 1 \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 1 (- x \cos (2 x)) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 1 (x \cos (2 x)) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.5

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.6.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 (- 1) \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.6.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - 1 \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.7

$- 1 \frac{\sin (2 x)}{2}$ को $- \frac{\sin (2 x)}{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.8

$x^{2} (\sin (2 x))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3 (x \cos (2 x) + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.9

$x^{2} (\sin (2 x))$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3 (x \cos (2 x) + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 (x \cos (2 x) + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.11

$x \cos (2 x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3 (x \cos (2 x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.12

$x \cos (2 x)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3 (\frac{x \cos (2 x) \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 \frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.14

$\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.14.1

$2$ को $x \cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \frac{2 \cdot (x \cos (2 x)) + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.1.14.2

$2$ को $x^{2} (\sin (2 x))$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.2

$3$ और $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.4

जोड़ना.

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2 \cdot 2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{4} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 17.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3}{4} (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) - \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$