कैलकुलस उदाहरण

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \frac{x}{6}$ .फिर $d u = \frac{1}{6} d x$ , तो $6 d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \frac{x}{6}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{x}{6}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $\frac{1}{6}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{6}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{6} \cdot 1$

चरण 1.1.4

$\frac{1}{6}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \frac{x}{6}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

चरण 1.3

$x$ के लिए $u = \frac{x}{6}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

चरण 1.4

$3$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$3 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

चरण 1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

चरण 1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

चरण 1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 1.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 1.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{6}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

चरण 2.2

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

चरण 2.3

$6$ को $\cot^{2} (u)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

चरण 3

चूँकि $6$ बटे $u$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

चरण 4

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cot^{2} (u)$ को $- 1 + \csc^{2} (u)$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

चरण 7

चूंकि $- \cot (u)$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (u)$ है, $\csc^{2} (u)$ का समाकलन $- \cot (u)$ है.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

चरण 8

$- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ और $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ को मिलाएं.

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

चरण 9

$\frac{π}{2}$ पर और $\frac{π}{6}$ पर $- u - \cot (u)$ का मान ज्ञात करें.

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\cot (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

चरण 10.2

$\cot (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\sqrt{3}$ है.

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

चरण 10.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

चरण 10.4

$- \frac{π}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

चरण 10.5

$- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

चरण 10.6

$- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

चरण 10.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

चरण 10.8

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

चरण 10.9

$6$ और $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

चरण 10.10

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.10.1

$6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

चरण 10.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.10.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

चरण 10.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

चरण 10.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

चरण 10.10.2.4

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

चरण 11.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$- \frac{π}{6}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

चरण 11.2.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

चरण 11.2.3

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

चरण 11.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

चरण 11.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

चरण 11.3

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

चरण 11.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

चरण 11.5

$- - \frac{π}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

चरण 11.5.2

$\frac{π}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

चरण 11.6

$- π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

चरण 11.7

$- π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

चरण 11.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

चरण 11.9

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

चरण 11.10

$- 3 π$ और $π$ जोड़ें.

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

चरण 11.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

चरण 11.12

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

चरण 11.13

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.13.1

$- \frac{2 π}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

चरण 11.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

चरण 11.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

चरण 11.14

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

दशमलव रूप:

$4.10911953 \dots$