कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{8} (1 - x) e^{- x} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = 1 - x$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} - e^{- x} \cdot - 1 d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} 1 e^{- x} d x$

चरण 2.2

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} e^{- x} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 3.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 3.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = - x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

चरण 3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 1$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = - x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

चरण 3.5

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 8$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 8$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{- 1}^{- 8} - e^{u} d u$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - - \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + 1 \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

चरण 5.2

$\int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$8$ पर और $1$ पर $(1 - x) (- e^{- x})$ का मान ज्ञात करें.

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

चरण 7.2

$- 8$ पर और $- 1$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$(1 - 8) (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.2

$1$ में से $8$ घटाएं.

$- 7 (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.3

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$- 7 (- e^{- 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.4

$- 1$ को $- 7$ से गुणा करें.

$7 e^{- 8} - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$7 e^{- 8} - (1 - 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.6

$1$ में से $1$ घटाएं.

$7 e^{- 8} - 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.7

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.9

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$7 e^{- 8} + 0 e^{- 1} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.10

$0$ को $e^{- 1}$ से गुणा करें.

$7 e^{- 8} + 0 + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.11

$7 e^{- 8}$ और $0$ जोड़ें.

$7 e^{- 8} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

चरण 7.3.12

$7 e^{- 8}$ और $e^{- 8}$ जोड़ें.

$8 e^{- 8} - e^{- 1}$

चरण 8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$8 \frac{1}{e^{8}} - e^{- 1}$

चरण 8.2

$8$ और $\frac{1}{e^{8}}$ को मिलाएं.

$\frac{8}{e^{8}} - e^{- 1}$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

दशमलव रूप:

$- 0.36519574 \dots$

चरण 10