कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{3} \sqrt{1 + 25 x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \frac{1}{5} \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ सकारात्मक है.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$\frac{1}{5}$ और $\tan (t)$ को मिलाएं.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{\tan (t)}{5})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

चरण 2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\tan (t)}{5}$ पर लागू करें.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

चरण 2.1.1.3

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

चरण 2.1.1.4

$25$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

चरण 2.1.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

चरण 2.1.2

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

चरण 2.1.3

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

चरण 2.1.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

चरण 2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$\frac{1}{5}$ और $\tan (t)$ को मिलाएं.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

चरण 2.2.1.2

$\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ और $\sec (t)$ को मिलाएं.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec (t)}{5} d t$

चरण 2.2.1.3

घातांक जोड़कर $\sec^{2} (t)$ को $\sec (t)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.1

$\sec^{2} (t)$ को $\sec (t)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.1.1

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)}{5} d t$

चरण 2.2.1.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{{\sec (t)}^{2 + 1}}{5} d t$

चरण 2.2.1.3.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

चरण 2.2.2

उत्पाद नियम को $\frac{\tan (t)}{5}$ पर लागू करें.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{5^{3}} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

चरण 2.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{125} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

चरण 2.2.3.2

$\frac{\tan^{3} (t)}{125}$ को $\frac{\sec^{3} (t)}{5}$ से गुणा करें.

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{125 \cdot 5} d t$

चरण 2.2.3.3

$125$ को $5$ से गुणा करें.

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{625} d t$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{625}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{625}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{625} \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

चरण 4

$\tan^{2} (t)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{625} \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

चरण 5

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{625} \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

चरण 6

मान लीजिए $u = \sec (t)$ .फिर $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , तो $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = \sec (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\sec (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

चरण 6.1.2

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का व्युत्पन्न $\sec (t) \tan (t)$ है.

$\sec (t) \tan (t)$

चरण 6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{625} \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

चरण 7

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ गुणा करें.

$\frac{1}{625} \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1 u^{2}$ को $- u^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 8.2

घातांक जोड़कर $u^{2}$ को $u^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

चरण 8.2.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{4} d u$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{625} (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{625} (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

चरण 13.1.2

$\frac{1}{5}$ और $u^{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

चरण 13.2

सरल करें.

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u$ की सभी घटनाओं को $\sec (t)$ से बदलें.

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

चरण 14.2

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (5 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (5 x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (5 x))) + C$