कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में फिर से लिखें, फिर सामान्य गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (x + h) \cos (x + h)$ को फिर से लिखें.

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

चरण 2.1.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

चरण 2.1.2.2

अंतिम उत्तर $\sin (x + h)$ है.

$\sin (x + h)$

चरण 2.2

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

चरण 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक को सरल करने के लिए ज्या के योग सूत्र का प्रयोग करें. सूत्र के अनुसार $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

चरण 4.2

कोष्ठक हटा दें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

चरण 4.3

$- 1$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

चरण 5

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.2

$\sin (x)$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.4

$\cos (x)$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.5

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.6

$\sin (x)$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.7

$h$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.7.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.7.2

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.8.1.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.8.1.2

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.8.1.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.8.1.4

$\cos (x)$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.8.2

$\sin (x) + 0 - \sin (x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.8.2.1

$\sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.2.8.2.2

$\sin (x)$ में से $\sin (x)$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 5.1.3

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0}$

चरण 5.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 5.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 5.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 5.3.2

योग नियम के अनुसार, $h$ के संबंध में $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 5.3.3

$\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

चूंकि $\sin (x)$ , $h$ के संबंध में स्थिर है, $h$ के संबंध में $\sin (x) \cos (h)$ का व्युत्पन्न $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 5.3.3.2

$h$ के संबंध में $\cos (h)$ का व्युत्पन्न $- \sin (h)$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 5.3.4

$\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

चूंकि $\cos (x)$ , $h$ के संबंध में स्थिर है, $h$ के संबंध में $\cos (x) \sin (h)$ का व्युत्पन्न $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 5.3.4.2

$h$ के संबंध में $\sin (h)$ का व्युत्पन्न $\cos (h)$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 5.3.5

चूंकि $h$ के संबंध में $- \sin (x)$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $- \sin (x)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 5.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.6.1

$\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 5.3.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 5.3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ $n h^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

चरण 5.4

$- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

चरण 6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

चरण 6.2

$\sin (x)$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

चरण 6.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

चरण 6.4

$\cos (x)$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

चरण 6.5

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

चरण 7

$h$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

चरण 7.2

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

चरण 8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

चरण 8.1.2

$- \sin (x) \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

चरण 8.1.2.2

$0$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

$0 + \cos (x) \cos (0)$

चरण 8.1.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$0 + \cos (x) \cdot 1$

चरण 8.1.4

$\cos (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + \cos (x)$

चरण 8.2

$0$ और $\cos (x)$ जोड़ें.

$\cos (x)$

चरण 9